1. Введение

Цель работы – экспериментальная проверка теоремы о взаимности перемещений и оценка погрешности.

2. Теория. Опытная проверка теоремы о взаимности перемещений

2.1. Обозначение перемещений

Чтобы придать формулам общность и большую однообразность, введем следующие обозначения для перемещений. Если какое-либо перемещение (угловое, линейное) определяется от единичного воздействия (например, от силы равной единице; от пары сил равной единице), то соответствующее единичное перемещение будет обозначаться буквой , а если определяется перемещение от системы сил, от совокупности нагрузок, то для обозначения перемещения применяется буква . Причем около букв и  вводится двойная индексация

и – где i – показывает направление перемещения;

j – от какой силы произошло перемещение, например.

 - перемещение по направлению 1-ой единичной силы от 2-ой единичной силы,

 - перемещение по направлению 1-ой силы от заданной внешней нагрузки.

2.2. Теорема Бетти о взаимности работ внешних сил

Работа первой силы на перемещении, получившимся от действия второй силы, равна работе второй силы на перемещении, вызванном действием первой силы. (теорема Бетти).

(1)

          .

Другими словами, при подсчете работ действующую силу берут из одной части нагрузки, а перемещение в точке приложения и в направлении этой силы находятся от другой силы.

Произведения, определяющие работу, получаются со знаком «плюс», если направления силы и перемещения совпадают.

Теорема о взаимности работ относится к числу общих теорем сопротивления материалов. Она прямо вытекает из принципа независимости  действия сил и применима по всем системам, для которых соблюдается этот принцип.

Рассмотрим упругую систему, например, балку лежащую на двух опорах в двух состояниях (рис. 2.1)

Рис.2.1. Схема балки в двух состояниях

В первом состоянии (рис 2.1 а) балка нагружена силой F1 приложенной в точке 1. Во втором состоянии сила F2 приложена в точке 2.

Иногда в теорему о взаимности работ вкладывают более узкое содержание, трактуют ее как теорему о взаимности перемещений.

Действительно, если , то формула (2.1) преобразуется в

(2)

и читается так:

Единичная сила, приложенная в точке 1 создает такое перемещение в точке 2, какое перемещение получается в точке 1 от приложения единичной силы в точке 2, т.е.  формула (2.2) Максвелла, как частный случай теоремы Бетти (2.1).

То же самое относится и к загружению конструкции не единичными, а какими-либо равными воздействиями.

. Оба равных перемещения увеличиваются в F раз.

При действии двух единичных пар сил  М1=1 и М2=1 (рис.2.2)

 

 

Рис.2.2. Схема балки в двух состояниях от действия единичных моментов

На первой опоре от действия единичной правой М2 пары сил получается такой же угол поворота, какой получается на правой опоре от действия  единичной М1 левой пары сил.

3. Оборудование

3.1. Активные клавиши

Для работы в этой лабораторной работе применяются следующие клавиши:

W, S, A, D – для перемещения в пространстве;

F2, E – аналоги средней клавиши манипулятора (при первом нажатии берется объект, при последующем – ставится);

F10 – выход из программы.

Рис. 3.1. Активные клавиши клавиатуры

Рис. 3.2. Функции манипулятора

Левая клавиша мыши (1) - при нажатии и удерживании обрабатывается (поворачивается, переключается) тот или иной объект.

Средняя клавиша (2) - при первом нажатии (прокрутка не используется) берется объект, при последующем – ставится (прикрепляется).

Правая клавиша (3) - появляется курсор–указатель (при повторном - исчезает).

Примечание: При появившемся курсоре невозможно перевести взгляд вверх и стороны.

3.2. Оборудование для испытаний

Для проведения лабораторной работы понадобится следующее оборудование:

·    установка СМ-4А;

·    стрелочный индикатор с опорой;

·    комплект грузов, массой 10 H;

·    линейка.

Рис. 3.3. Установка СМ-4А

Рис. 3.4. Схема стрелочного индикатора

Стрелочным индикатором измеряются перемещения (прогибы). Схема его показана на на рис. 3.4.

Для измерения перемещений он устанавливается неподвижно и штифтом (1) опирается в точке А, перемещение которой определяется по направлению штифта (1). При перемещении точки А конец штифта следует за ней, так как штифт при помощи пружинки (2) все время прижат к этой точке.

Перемещение штифта отмечается движением указателя (3), прикрепленного к штифту, по шкале с миллиметровыми делениями, нанесенными по краю прорези.

Штифт в средней части имеет винтовую нарезку и соединен с червячным колесом (4), на одной оси с которым помещается шестеренка (5). Шестеренка (5) находится в соединении с шестеренкой (6), к оси которой прикреплена стрелка (7). При перемещении штифта на 1 мм стрелка, благодаря принятым соотношениям размеров червячной и шестереночной передач делает полный оборот. По окружности, описываемой стрелкой, нанесена шкала со 100 делениями. Следовательно, одно деление циферблата соответствует перемещению штифта на 0,01 мм.

Таким образом, по вертикальной шкале отсчитываются целые миллиметры, а по циферблату – доли миллиметра. Если отсчеты по циферблату оценивать на глаз, до одной десятой деления, то измерение перемещений может быть произведено с точностью до 0,001 мм.

В некоторых моделях индикаторов вместо прорези со шкалой для отсчета целых миллиметров перемещения штифта устроен второй циферблат с маленькой стрелкой и отсчитываются целые миллиметры (рис. 3.5). Величина поступательного перемещения штифта, а следовательно, и предельное перемещение, которое можно замерить без перестановки индикатора, обычно равняется 10 мм.

Стрелочным индикатором можно определять и линейные деформации. При измерении деформаций индикатор закрепляется между двумя точками (сечениями) таким образом, чтобы корпус его был неподвижно скреплен с одной точкой (сечением), а штифт опирался в другой точке. Изменение отсчетов по циферблату и даст величину изменения длины между фиксированными точками (сечениями).

Рис. 3.5. Стрелочный индикатор

На большой шкале (2) расположено 100 делений. Полный круг стрелки (1) будет соответствовать 1 мм, соответственно одно деление – 0,01 мм. Черная разметка – движение измерительной иглы снизу вверх (вдавливание иглы внутрь прибора). Красная шкала – движение стрелки из прибора (сверху вниз). Маленькая круглая шкала (3) считает целые миллиметры (всего 10 мм).

Рис. 3.6. Комплект грузов

 

 

Рис. 3.7. Линейка, установленная на балке

 

Рис. 3.8. Установка СМ-4А для определения перемещений при изгибе

Балка (рис. 3.8) прямоугольной формы (1) лежит на двух опорах (3).  Расположение опор может быть произвольным. Посередине пролета и на консолях имеются подвески (2), на которых и производится нагружение грузами.

Перемещение сечений определяется с помощью индикатора (4), закрепленного на станине (5) при помощи стойки.

 

4. Порядок проведения работы

Опытную проверку теоремы о взаимности перемещений проводим на установке (рис. 3.8), которую изобразим схематически в двух состояниях (рис.4.1).

Рис. 4.1. Схема установки.

Сначала груз F подвешивают в точке 1, а индикатор устанавливают в точке 2, где и замеряют перемещение конца балки как разность отсчетов в ненагруженном  и нагруженном состоянии балки.

Затем груз подвешивают в точке 2, а индикатор устанавливают в точке 1 и замеряют аналогичным первому способом перемещения.

Сравним полученные значения перемещений , тем самым проверяя теорему о взаимности перемещений. При проведении эксперимента теорема о взаимности перемещений  хорошо подтверждается опытом. Как правило, отклонение не превышает 5%.

5. Контрольные вопросы

1. Запишите и сформулируйте теорему о взаимности работ.

2. Теорема о взаимности перемещений как частный случай теоремы о взаимности работ.

3. Что означают индексы у перемещений ?

4. Что такое кривизна оси балки?

5. Что такое радиус кривизны оси балки?

6. Что такое допускаемый прогиб балки?

7. Как влияют упругие свойства материала на перемещение сечений при изгибе?

8. Как влияют размеры поперечного сечения при перемещении сечений при изгибе?

9. Какие вы знаете перемещения сечений при изгибе?

10. Какие методы определения перемещений при изгибе вы знаете?

11. Запишите универсальные уравнения.

12. Запишите формулу интеграла Мора.

13. Запишите формулу Верещагина.

14. Запишите приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки.

6. Отчет

Цель работы ____________________________________________________

Схема нагружения балки  и расположения приборов

1-состояние ____________________________________________________

2-состояние ____________________________________________________

Результаты опыта

Нагрузка F __________ Н

Прогиб в точке 1  _____________ мм

Прогиб в точке 2  _____________ мм

 

Ошибка

 

Работу выполнил ________________

Отчет принял ___________________

«___» _______________ 200_г.

 

7. Список использованной литературы

1. Н.М. Беляев. Лабораторные работы по сопротивлению материалов. – М.:Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1954. – 287с.

2. В.Ф. Баклицкий. Методические указания к лабораторным работам. - Тюмень:Изд-во ТюмГНГУ, 1988.

3. В.Ф. Баклицкий. Методические указания к лабораторной работе по дисциплине «Прикладная механика» на тему «Опытная проверка теоремы о взаимности перемещений». – Тюмень: Изд-во ТюмГНГУ, 1995. – 8с.

4. О.В. Ильницкая, Шиморова Г.В. Руководство по лабораторным работам по курсу «Сопротивление материалов». – Тюмень, Изд-во ТВИКУ, 1987. – 70с.

8. Авторы

 

Лабораторная работа «Опытная проверка теоремы о взаимности перемещений» по курсу «Сопротивление материалов»

 

Методическое обеспечение: Гуляев Б.А., к.т.н., доцент

 

Редактор: Яковлев О.В.

 

3D графика: Елесин А.С.

 

Script программирование: Каздыкпаева А.Ж.